Wohin entwickeln sich die Aktienkurse? Wird der Preis dieser oder jener Aktie steigen oder fallen? Um wie viel? Wann? Und wie schnell? Fällt er, wird er sich danach wieder erholen? Wie schnell und in welchem Ausmaß?

Tatsache ist, wir wissen es nicht. Denn Aktienkurse folgen einem sogenannten stochastischen Prozess. Darunter versteht man, dass sich Variablen im Zeitablauf in unbestimmter Weise verändern. Kann das zu jedem Zeitpunkt und in beliebiger Höhe geschehen, so spricht man von zeitstetigen und wertstetigen stochastischen Prozessen. Und auf genau diesen Theorien und Prozessen basieren die meisten Optionspreisbewertungsmodelle. Denn auch wenn sich Preise von Basiswerten und damit Derivaten in scheinbar zufälliger Weise zu scheinbar zufälligen Zeitpunkten verändern, so müssen wir dennoch irgendwie in der Lage sein, diese Entwicklung in Zahlen und Formeln zu fassen, um einen aus heutiger Sicht fairen Preis daraus zu berechnen.

In diesem Zusammenhang werden bei Pricing Modellen im Derivatebereich auch gerne Begriffe wie Markov Prozess, Wiener Prozess oder Brownian Motion verwendet. Sie alle bezeichnen einen stochastischen Prozess. Die Theorien dafür kommen ursprünglich aus der Physik und werden dort auch noch standardmäßig für die Berechnung von Molekularbewegungen verwendet. Denn die Physik stand schon länger vor dem Problem, dass scheinbar erratische Bewegungen in Zahlen gefasst werden mussten.

Dabei gehen viele gängige Modelle von normalverteilten Verteilungen aus, deren Mittel bei Null und deren Standardnormalverteilung einen Wert von 1,0 hat. Man spricht dann auch von einem “Wiener Prozess”. Die Mitte wird in der Mathematik gerne mit dem griechischen Buchstanben μ (“mü”) abgekürzt. Der griechische Buchstabe für die Standardnormalverteilung (die Volatilität) ist σ. Zudem wird häufig mit Zufallsvariablen gearbeitet, die aus der Standardnormalverteilung genommen werden.

Da die Berechnung von zeitstegigen und wertstetigen stochastischen Prozessen (Engl. continuous-time and continuous-variable) mathematisch sehr aufwändig ist – schließlich geht es um eine Aneinanderreihung klitzekleiner Zeiteinheiten mit Zufallsvariablen – wird für die Berechnung gerne eine sogenannte Monte-Carlo-Simulation verwendet. Dabei können für die Berechnung viele, unterschiedliche und voneinander unabhängige Zufallsvariablen gewählt werden und die Berechnung zehntausende oder gar hunderttausende Male wiederholt werden. Je häufiger die Wiederholung mit immer neuen Zufallsvariablen, desto besser ist am Ende das Ergebnis. Durch bessere Computerleistungen sind Monte Carlo Simulationen heute sehr einfach möglich und erfordern nicht mehr den enormen Zeitaufwand, den Derivatehändler früher in Kauf nehmen mussten.