Bewertung von Futures

Ein Geschäft mit zukünftigen Erwartungen

Ein Future ist ein Vertrag über ein Geschäft in der Zukunft. Dementsprechend spiegelt der vereinbarte Preis das wider, was beide Geschäftspartner für die Zukunft erwarten. Bei dieser Preisfindung spielen folgende Dinge eine wichtige Rolle:

• Der aktuelle Kassapreis für den Basiswert
• Die (Lauf)zeit
• Das Zinsniveau. In der Finanzmathematik wird dafür stets der risikolose Zinssatz für die entsprechende Laufzeit herangezogen.
• Ausschüttungen aus dem Basiswert während der Laufzeit
• Kosten für die Lagerung oder das Halten des Assets

Futures und Forwards werden ähnlich bewertet

Futures und Forwards werden ähnlich bewertet. In der Praxis werden Futures und Forwards allerdings meist leicht im Preis voneinander abweichen. Ein Grund dafür liegt in unterschiedlichen Korrelationen zwischen Zinssätzen und Asset Preisen.

Futures ohne Ausschüttungen im Basiswert

Wie bereits im Kapitel über Forwards beschrieben, ist der Preis eines Forwards auf ein Asset, das weder Ausschüttungen hat noch Lagerkosten folgendermaßen definiert:

\( F_{0}=S_{0}e^{rT} \)

Es wird also der aktuelle Spot Preis mit dem risikolosen Zins über die entsprechende Laufzeit auf kontinuierlicher Basis hochgezinst.

Futures im Fall von Zinsen, Dividenden und Renditen

Werden Dividenden, Zinsen oder sonstige Ausschüttungen auf den Basiswert während der Laufzeit des Futures erwartet, ändert sich die Formel wie folgt:

Grundformel: \( F_{0}=S_{0}e^{rT} \) Bei Dividenden: \( F_{0}=(S_{0}-I)e^{rT} \) Es werden also die Dividendenzahlungen vom Kassapreis abgezogen und dann dieser Wert hochgezinst. Mit Renditen: \( F_{0}=S_{0}e^{(r-q)T} \) Hier wird die Rendite auf das Asset vom risikolosen Zins abgezogen. Währungsfutures: \( F_{0}=S_{0}e^{(r-r_{f})T} \) Hier wird vom risikolosen Zins der Zinssatz der Fremdwährung abgezogen. Mit Lagerkosten: \( F_{0}=(S_{0}-U)e^{rT} \) Der Barwert der Lagerkosten wird vom Kassakurs abgezogen und danach hochgezinst.

Der erwartete, zukünftige Spotpreis

Wie kommt nun aber der erwartete, zukünftige Spotpreis zustande? Im Grunde weiß niemand, wie sich die Preise entwickeln, denn diese hängen von Angebot und Nachfrage und einer Reihe externer Parameter ab, etwa dem Wetter für Getreide, politische Risiken für den Ölpreis, und so weiter.

Deshalb können sich Investoren bei ihrer Berechnung der erwarteten Spotpreise zum Zeitpunkt t₀ nur auf die aktuell verfügbaren Daten stützen. Das ist neben dem aktuellen Kassapreis, dem risikolosen Zinssatz und der Laufzeit des Future Kontrakts auch noch der nötige Ertrag oder auch Risikokompensation, die ein Investor für das Halten des Assets über die Laufzeit benötigt.

Der Future Preis zum Zeitpunkt des Geschäftsabschlusses spiegelt dann genau den erwarteten, zukünftigen Spotpreis wider. Die benötigte Risikokompensation fließt dabei mit in die Berechnung ein, indem sie vom risikolosen Zins wie folgt abgezogen wird und diesen vermindert:

\( F_{0}=E(S_{T})e^{(r-k)T} \)

Der Futurepreis zum Zeitpunkt t₀ entspricht immer dem erwarteten, zukünftigen Spotpreis zum Zeitpunkt t₀.
Während der Laufzeit wird der Preis des Futures allerdings ständig variieren und sich gegen Ende der Laufzeit dem dann tatsächlichen Spotpreis immer weiter annähern.

Die Höhe der Risikoprämie

Da es sich bei k um eine Risikokompensation handelt, die das systematische Risiko des Marktes und des individuellen Assets abdecken kann, hängt die Höhe von k natürlich von der Höhe und der Existenz des Risikos ab. Bei Getreide besteht das Risiko der Lagerung etwa darin, dass ein Feuer ausbrechen könnte, Schädlinge in die Lagerhalle eindringen oder Feuchtigkeit die Ernte verschimmeln lässt. Der Verlust beim Transport von einer Lagerstelle zur nächsten, politische Risiken, Diebstahl, aber auch Marktschwankungen und finanzielle Risiken können k beeinflussen. In diesen Fällen hat k einen Wert, der höher als der risikolose Zinssatz ist, denn der Investor erwartet, für die Risiken kompensiert zu werden. Es kann aber durchaus auch vorkommen, dass ein Investor mit dem Asset keinerlei Risiken assoziiert, oder das Halten des Assets sogar als positiv bewertet. Beispiele könnten Gold oder sehr sichere Staatsanleihen sein. In diesen Fällen kann k sogar kleiner als der risikolose Zinssatz werden.

Dann kann es zu folgenden Ungleichgewichten kommen:

RISIKO KOMPENSATION	k UND r IM VERGLEICH	FUTURE UND ERWARTETER ZUKÜNFTIGER SPOTPREIS
Positives systemisches Risiko	k > r	F0 < E (St)
Neutrale Risikoposition	k = r	F0 = E (St)
Negatives systemisches Risiko	k < r	F0 > E (St)